Eigenvektoren und Eigenwerte

Author: Hans Lohninger

Eigenvektoren und Eigenwerte sind nur für quadratische Matrizen Z definiert und folgen der Gleichung:

mit e (ein Vektor) als dem Eigenvektor und λ (ein Skalar) als dem Eigenwert.

Diese formale Definition mag ein wenig abstrakt aussehen. Ihre Vorteile sind aus der obigen Gleichung zwar nicht ersichtlich, doch die Eigenanalyse ist für die verschiedensten technischen und wissenschaftlichen Gebiete wichtig. Im Zusammenhang mit der Datenanalyse werden Eigenvektoren dazu benutzt, einen stabileren Satz an Deskriptoren zur Datenbetrachtung zu erlangen. In den meisten Fällen basiert die Eigenanalyse auf einer Streumatrix Z=X^TX, mit X als einer Matrix von n Zeilen (Beobachtungen) und p Spalten (Variablen).

Eine quadratische Matrix der Dimension p mal p kann höchstens p Eigenvektoren aufweisen. Das kann in Matrixnotation wiedergegeben werden:

Die Eigenvektoren sind zueinander orthogonal und das Produkt E^TE ist die Einheitsmatrix I (E ist eine orthonormale Matrix). Die Matrix Z kann durch ihre Eigenvektoren ausgedrückt werden:

Zu beachten ist, dass die inverse Matrix von Z einfach als

geschrieben werden kann.