Regression nach Linearisierung

Author: Hans Lohninger

In Fällen in denen eine direkte Anwendung der linearen Regression unmöglich bzw. zu umständlich ist, kann man versuchen, eine Lösung durch Linearisierung (zumindest näherungsweise) zu erreichen:

Dazu transformieren Sie das kurvilineare Modell in ein lineares Modell, indem Sie die passende Transformation auf beide Variablen, die unabhängige und die abhängige, anwenden. Für den univariaten Fall können Sie die Linearität nach der Transformation visuell überprüfen, indem Sie die transformierten Variablen gegeneinander auftragen. Daraufhin werden die Regressionsparameter für das linearisierte Modell berechnet und diese dann auf die ursprüngliche Funktion rücktransformiert.

Im Folgenden ist eine Tabelle der Transformationen zur Linearisierung von geläufigen Funktionen angeführt:

Nicht lineares Modell	Linearisiertes Modell	Rücktransformation
y = abx	lg y = a* + b*x	a = 10a*	b = 10b*
y = axb	lg y = a* + b* lg x	a = 10a*	b = 10b*
y = aebx	ln y = a* + b*x	a = ea*	b = b*
y = ae(b / x)	ln y = a* + b* (1/x)	a = ea*	b = b*
y = a + b/x	y = a* + b* (1/x) -- y gegen 1/x auftragen	a = a*	b = b*
y = a / (b + x)	(1/y) = a* + b*x	a = b/a*	a = 1/b*
y = a + bxn	y = a* + b*xn	a = a*	b = b*

Es sei darauf hingewiesen, dass die durch Linearisierung ermittelten Parameter nicht exakt jenen entsprechen, die man durch direkte Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate erhalten würde, da sich durch die Linearisierung die Metrik der Daten verändert. Außerdem kann eventuell die Annahme homoskedastischer Daten als Voraussetzung für die Regression verletzt werden.