Unkorreliertheit der Residuen - Durbin-Watson-Test

Author: Hans Lohninger

Eine der Voraussetzungen für die lineare Regression ist die Unkorreliertheit der Residuen. Eine eventuell auftretende Korrelation der Residuen deutet darauf hin, dass das gewählte Regressionsmodell den tatsächlichen Zusammenhang nicht vollständig erklärt. Sind die Residuen natürlich geordnet (bedingt durch eine inhärente Ordnung der unabhängigen Variablen, wie sie z.B. in Zeitserien auftritt), so spricht man auch von Autokorrelation der Residuen.

Die Korrelation der Residuen hat folgende Konsequenzen auf die Regression:

• Die berechneten Standardfehler der Regressionskoeffizienten können deutlich kleiner sein als sie in Wirklichkeit sind. Das täuscht dann eine höhere Präzision des berechneten Modells vor.
• Als Konsequenz daraus sind die Konfidenzintervalle und die Signifikanztests der Parameter nicht mehr gültig.

Obwohl die Korrelationsstruktur der Residuen natürlich beliebig komplex sein kann, ist der häufigste und einfachste Fall (nämlich die Korrelation benachbarter Werte) leicht zu überprüfen. Der populärste Test dafür ist der Durbin-Watson-Test.

Dieser Test beruht auf der Annahme dass aufeinanderfolgende Residuen ε nach folgender Gleichung korreliert sind:

ε_t = ρε_t-1 + ω_t,

mit |ρ| < 1.

ρ ist die Korrelation zwischen Residuen, ω ist normalverteilt mit einem Mittelwert von 0 und konstanter Varianz.

Die Nullhypothese für den Durbin-Watson-Test ist, dass keine Korrelation existiert:

H₀ : ρ = 0
H₁ : ρ 0