Ziehung roter Kugeln

Frage

Nehmen wir an, wir hätten zwei Lastwagen voll roter und blauer Tischtennisbälle (jeweils ca. 250000 Stück). Wieviel von den roten und blauen Bällen muss man zusammenmischen, damit beim Ziehen einer Stichprobe von 8 Bällen die Chance genau 7 rote Bälle und 1 blauen Ball zu bekommen bei 20% liegt?

Antwort

Diese Fragestellung ist eine klassische Umkehraufgabe. Die Wahrscheinlichkeit für eine gegebene Häufigkeit von roten Kugeln genau 7 rote Kugeln und eine blaue zu bekommen lässt sich durch die Binomialverteilung berechnen, da die Zahl aller vorhandenen Kugeln (die Population des Experiments) sehr groß im Vergleich zur Stichprobe ist. Dadurch ändert sich beim Ziehen der Stichprobe die Zusammensetzung der restlichen Kugeln nur so wenig, dass sie für eine praktische Betrachtung vernachlässigt werden kann (wäre die Population in der Größenordnung des Größe der Stichprobe, so müsste man die hypergeometrische Verteilung verwenden). Nun ist das Problem, jene Prozentsätze der roten Kugeln zu finden, bei denen die Chance genau 7 rote und 1 blaue zu bekommen genau 20% ist. Dazu berechnet man die Binomialverteilung für N=8 und k=7 und variiert die p-Werte zwischen 0 und 1. Es finden sich zwei p-Werte für die diese Bedingung erfüllt ist - p=0.702 und p=0.969 (siehe Abbildung unten). Geht man davon aus, dass man die gesamten 250000 Stück roter Bälle einsetzt so muss man im ersten Fall 106600 blaue Bälle zumischen und im zweiten Fall 8000 blaue Bälle, damit die Mischung 70.2% bzw. 96.9% rote Bälle enthält.

Anleitung

Starten Sie das Programm discretedistri.exe (für Windows PCs) und wählen Sie die Binomialverteilung aus. Stellen Sie die Stichprobengröße auf N=8. Verschieben Sie nun den Anteil an roten Kugeln zwischen 0 und 100% und beobachten die Wahrscheinlichkeit bei k=7. Sie wird für 70.2% und 96.9% Anteil roter Kugeln genau 0.2 sein. N.B.: Das Programm discretedistri.exe können Sie vom VIAS-Webserver gratis beziehen.